Probabilidad

SUCESOS ALEATORIOS

Experimento aleatorio : es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener . En caso contrario se llama experimento determinista .

Espacio muestral E : ( de un experimento aleatorio ) es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento .

Suceso de un experimento aleatorio : es un subconjunto del espacio muestral . Puede haber los siguientes tipos :
– suceso elemental
– suceso compuesto ( de varios sucesos elementales )
– suceso seguro
– suceso imposible
– suceso contrario

Operaciones con sucesos :
• Unión de sucesos : la unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando se realiza A ó B
• Intersección de sucesos : la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando se realizan simultaneamente los sucesos A y B . Cuando es imposible que los sucesos se realicen simultaneamente se dice que son incompatibles . Si    . En caso contrario se dice que son compatibles .

Propiedades :
 Unión Intersección
Asociativa (A B)  C=A (B C)
(A B)  C=A (B C)

Conmutativa A B=B A
A B=B A

Idempotente A A=A
A A=A

Simplificativa A (B A)=A    
A  (B A)=A

Distributiva A (B C)=(A B)   (A C)
A(B C)=(A B)  (A C)

Suceso contrario A  = E

Sistema completo de sucesos : Se dice que un conjunto de suceesos A1 , A2 …….constituyen un sistema completo cuando se verifica :
– A1 A2 ……..=E
– A1 , A2 , ……son incompatibles 2 a 2 .
                                     A1     A2   ………….       An
PROBABILIDAD

Ley de los grandes números : La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número , a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente . Este número lo llamaremos probabilidad de un suceso .

Definición clásica de probabilidad : (regla de Laplace)
 
( para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables )

Definición axiomática de probabilidad : ( Kolmogorov ) Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas :
1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A)   0
2. La probabilidad del suceso seguro es 1 , es decir , p(E) = 1
3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos , o sea , p(A B) = p(A) + p(B)

Consecuencias de los axiomas :
– p( ) = 1 – P(A)
– p( ) = 0
– 
– Si A
– Si los suceso son compatibles : p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Para el caso de tres sucesos compatibles sería :
     p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A B) – p(A C) – p(B C) + p(A B C)

Probabilidad condicionada p(A/B) : Se llama probabilidad del suceso A condicioniado por B a la probabilidad de que se cumpla A una vez que se ha verificado el B .
                                               p(A/B) =     
    

                                   A                                                        B
                                                   a           b             c   
p(A B) =                p(B) =                 p(A/B) = 

Otra forma de ver la fórmula es :
                        p(A B) = p(B) • p(A/B) = p(A) • p(B/A) = p(B A)
 
Generalizando :  p(A B C) = p(A) • p(B/A) • p(C/A B)
Ejemplo :
 Hombres  Mujeres 
Fuman  70 40 110
No Fuman 20 30 50
 90 70 160
 
p(H) = 90/160          p(M) = 70/160         p(F) = 110/160        p(NF) = 50/160        

p(H/NF) = 20/50        p(H/F) = 70/110    p(M/NF) = 30/50     p(M/F) = 40/110           
          
p(H F) = 70/160 = p(F) • p(H/F) = (110/160) • (70/110)

Lo mismo se podría hacer con color de ojos ( marrones y azules ) y color de pelo ( rubio y castaño ) .

Sucesos independientes : dos sucesos A y B se dice que son independientes si
p(A) = p(A/B) . En caso contrario , p(A) p(A/B) , se dice que son dependientes .

Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta : 
– Si los sucesos son dependientes p(A B) = p(A) • p(B/A) = p(B) • p(A/B)
– Si los sucesos son independientes p(A B) = p(A) • p(B)

Ejemplo : si al extraer dos cartas de una baraja lo hacemos con devolución tendremos dos sucesos independientes , p(A B) = p(A) • p(B) pero si lo hacemos sin devolución ahora si son dependientes p(A B) = p(A) • p(B/A) .

Teorema de la probabilidad total : sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas , entonces :
p(B) = p(B A1) + p(B A2) + ………=

                                    A1     A2         A3    A4

B
                                                    
                                                  B
Teorema de Bayes : sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas , entonces :
 

Ejemplo importante : Se va ha realizar el siguiente experimento , se tira una moneda , si sale cara se saca una bola de una urna en la que hay 4 bolas negras , 3 turquesa y 3 amarillas , si sale cruz se saca una bola de otra urna en la que hay 5 bolas negras , 2 turquesa y 3 amarillas .

NNNN
TTT
AAA
Cara ———————-
NNNNN
TT
AAA

Cruz ———————-

                                            
                                        N   4/10              p(Cara N) = 1/2  •  4/10 = 4/20
               Cara 1/2            T   3/10              p(Cara T) = 1/2  •  3/10 = 3/20     
                                        A   3/10              p(Cara A) = 1/2  •  3/10 = 3/20

                                        N   5/10              p(Cruz N) = 1/2  •  5/10 = 5/20
               Cruz 1/2            T   2/10              p(Cruz T) = 1/2  •  2/10 = 2/20
                                         A   3/10             p(Cruz A) = 1/2  •  3/10 = 3/20

Tª de la probabilidad total : p(N) = p(Cara N) + p(Cruz N) = 4/20 + 5/20 = 9/20
Tª de Bayes : p(Cara/N) =   que no es ni más ni menos que casos favorables entre casos posibles .

DISTRIBUCIONES DISCRETAS : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Variable aleatoria X : es toda ley que asocia a cada elemento del espacio muestral un número real . Esto permite sustituir los resultados de una prueba o experimento por números y los sucesos por partes del conjunto de los números reales .
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas .
Por ejemplo en el experimento aleatorio de lanzar tres monedas el espacio muestral es E = [ CCC , CCX , CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , CCC ] . Supongamos que a cada suceso le asignamos un número real igual al número de caras obtenidas . Esta ley o función que acabamos de construir la llamamos variable aleatoria ( discreta ) que representa el nº de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas .
Consideremos el experimento que consiste en elgir al azar 100 judías de una plantación y medimos su longitud . La ley que asocia a cada judía su longitud es una variable aleatoria ( continua ).
Por ejemplo al lanzar un dado podemos tener la varible aleatoria xi que asocia a cada suceso el nº que tiene en la parte de arriba .
 Por ejemplo al lanzar dos dados podemos tener la variable aleatoria xi que asocia a cada suceso el producto de los dos números que tiene en la parte de arriba .

Función de probabilidad : ( de una variable aleatoria ) es la ley que asocia a cada valor de la variable aleatoria xi su probabilidad pi = p( X = xi ) .

Función de distribución F(x) : ( de una variable aleatoria ) es la ley que asocia a cada valor de la variable aleatoria , la probabilidad acumulada de este valor .
                                                         F(x) = p ( X   x )

Media de una variable aleatoria discreta : 

Varianza de una variable aleatoria discreta :  =  

Ejemplo : en una bolsa hay bolas numeradas : 9 bolas con un 1 , 5 con un 2 y 6 con un 3 . Sacamos una bola y vemos que número tienen .
La función de probabilidad es :

xi 1 2 3
pi 9/20 5/20 6/20

La función de distribución es :
xi 1 2 3
pi 9/20 14/20 20/20

La media es 1•(9/20)+2•(5/20)+3•(6/20) = 1’85
La varianza es (1-1’85)2 • 9/20 + (2-1’85)2 • 5/20 + (3-1’85)2 • 6/20 = 0’72
Distribución binomial : Una variable aleatoria es binomial si cumple las siguientes características :
1. Los elementos de la población se clasifican en dos categorias , éxito o fracaso .
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores
3. La probabilidad de éxito y fracaso es siempre constante

Ejemplos : fumadores de una población , nº de aprobados de la clase , días de lluvia a lo largo de un año , nº de caras al tirar una moneda , etc .
• Función de probabilidad   p(X = r) =  pr qn-r   donde p es la probabilidad de éxito , q la probabilidad de fracaso , n el numero total de pruebas y r el número de éxitos .
• Función de distribución     p(X   x) =   pr qn-r
• Media  

• Varianza  = n • p • q

Ejemplo : Se lanza una moneda 11 veces :
¿ Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras ?
¿ Cuál es la probabilidad de obtener 5 o menos caras ?
¿ Cuántas caras se obtienen por término medio ?
¿ Cuál es la desviación típica ?

DISTRIBUCIONES CONTINUAS : DISTRIBUCIÓN NORMAL
 
Función de densidad f(x) : cuando en un histograma de frecuencias relativas de una variable continua aumentamos el nº de clases y por lo tanto su amplitud es más pequeña vemos que el polígono de frecuencias relativas se acerca a una función f(x) que llamaremos función de densidad que cumple las siguientes propiedades :
– f(x) 
–  el área encerrada bajo la curva de la función es igual a la unidad .
–   área bajo la curva correspondiente a ese intervalo .

Función de distribución F(x) = p(X   x) : cuando en un histograma de frecuencias relativas acumuladas de una variable continua aumentamos el nº de clases y por lo tanto su amplitud es más pequeña vemos que el polígono de frecuencias relativas acumuladas  se acerca a una función F(x) que llamaremos función de distribución que cumple las siguientes propiedades :
– F(a) =  = p( X a)   por lo tanto :
                                          p( X b) = = F(b) – F(a)
– F(x) es nula para todo valor de x anterior al menor valor de la variable aleatoria y es igual a la unidad para todo valor posterior al mayor valor de la variable aleatoria . Si es continua se dice que F(- )=0 y F(+ )=1
– Por ser una probabilidad   .
– Es una función creciente .
 
Media de una variable aleatoria continua : 
Varianza de una variable aleatoria continua :  = 
Distribución normal : una variable aleatoria es normal si se rige según las leyes del azar . La mayoría de las distribuciones más importantes son normales . Por ejemplo la distribución de los pesos de los individuos de cualquier especie , la estatura de una pobablación , Tª del mes de agosto a lo largo de 100 años , la longitud de los tornillos que salen de una fábrica , etc .
No todas las distribuciones son normales por ejemplo si clasificamos según el nivel de renta a los ciudadanos españoles son muy pocos los que poseen niveles de rentas altas y en cambio son muchos los que poseen niveles de rentas bajas  , por tanto la distribución no sería simétrica y en consecuencia no se adapta al modelo normal .

Función de densidad : una variable continua X sigue una distribución normal de media  y desviación típica  , y se designa por N( , ) , si cumple que
                                         f(x) =  

Podríamos comprobar que :

  =                        = 2
Para calcular los máximos y mínimos deberíamos hacer :
f(x) = 
f ‘(x) = –  f(x) , puesto que f(x) nunca puede valer 0 entonces , si x =   f ‘ (x) = 0
por lo que será un posible máximo o mínimo .
f ”(x) =    luego f ”( ) <0 por lo que es hay un máximo en el punto (  )
Conviene observar que cuando la desviación típica es elevada aumenta la dispersión y se hace menos puntiaguda la función ya que disminuye la altura del máximo . Por el contrario para valores pequeños de   obtenemos una gráfica menos abierta y más alta .

Cuando  = 0 y  =1 ,  N(0,1) se dice que tenemos una distribución normal reducida , estandar o simplificada .
Función de distribución : F(x) =  = p(X x)

Distribución Normal Estándar N(0,1) : La distribución N(0,1) se encuentra tabulada , lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a esta distribución . Pero en general la media no suele ser 0 , ni la varianza 1 , por lo que se hace una transformación que se llama tipificación de la variable , que consiste en hacer el siguiente cambio de variable :
                                           Z = 
a partir del cual obtenemos una variable Z que si es N(0,1) y que por lo tanto podemos calcular sus probabilidades .
                                    F(x) =  
Ejemplo : si tenemos N(2,4) y queremos calcular p(x<7) entonces :
p(x<7) =  = p( z < -5/4 ) = 0’1056
 
Manejo de tablas : pueden presentarse los siguientes casos :
p(z<1’45) = 0’9265
p(z<-1’45) = 0’0735
p(1’25<z<2’57) = 0’1005
p(-2’57<z<-1’25) = 0’1005
p(-0’53<z<2’46) = 0’695

Utilización conjunta de   :
En   está el 68’26% de los datos ya que :
p(  –  <X< + ) = p = p(-1< Z < 1) = 0.6826
Análogamente se puede comprobar que en   está el 95’4% de los datos y en  está el 99’7% .
Ejemplo : El C.I. de los 5600 alumnos de una provincia se distribuyen N(112,6) . Calcular aproximadamente cuántos de ellos tienen :
a) más de 112 ……………..2800 alumnos……………..la mitad de los alumnos
b) entre 106 y 118 ……….3823 alumnos ……………..este es el caso :
c) entre 106 y 112 ………..1911 alumnos
d) menos de 100 …………..128 alumnos
e) más de 130 ………………7 alumnos
f) entre 118 y 124 …………761 alumnos
( ojo hay que multiplicar % obtenido en la tabla por 5600/100 , que sale de una regla de tres )

Aproximación normal para la binomial :
Cuando los valores a calcular para la binomial superan a los de las tablas para obtener un resultado aproximado se utiliza la distribución normal , es decir , la variable   obedece a una distribución N(0,1)
El resultado es tanto más fiable cuanto mayor es el tamaño de la muestra n y cuanto más cerca está p de 0’5 .
Ejemplo : Se ha comprobado que la probabilidad de tener un individuo los ojo marrones es 0’6 . Sea X la variable aleatoria que representa el nº de individuos que tienen los ojos marrones de un grupo de 1100 . Calcular p(X>680) y p(X=680)
p(X>680) = 1 – p(X<680) = 1 – p(Y<  ) = 1 – p(Y<1’23) = 0’1093
p(X = 680) = p(679’5<X<680’5) se debe hacer así puesto que en una variable continua no tiene sentido calcular probabilidades de valores puntuales .

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