La estadística se puede dividir en dos partes :
- Estadística descriptiva o deductiva , que trata del recuento , ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones . Se construyen tablas y se representan gráficos , se calculan parámetros estadísticos que caracterizan la distribución , etc.
- Estadística inferencial o inductiva , que establece previsiones y conclusiones sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra . Se apoya fuertemente en el cálculo de probabilidades .

Población : es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica . Ejemplo : alumnos matriculados en COU en toda España .

Muestra : cualquier subconjunto de la población . Ejemplo : alumnos de COU del Sotomayor .

Carácter estadístico : es la propiedad que permite clasificar a los individuos , puede haber de dos tipos :
- Cuantitativos : son aquellos que se pueden medir . Ejemplo : nº de hijos , altura , temperatura .
- Cualitativos : son aquellos que no se pueden medir . Ejemplo : profesión , color de ojos , estado civil .

Variable estadística : es el conjunto de valores que puede tomar el carácter estadístico cuantitativo ( pues el cualitativo tiene “modalidades” ) . Puede ser de dos tipos :
- Discreta : si puede tomar un número finito de valores . Ejemplo : nº de hijos
- Continua : si puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo . Ejmplo : temperatura , altura .

Frecuencia absoluta fi : ( de un determinado valor xi ) al número de veces que se repite dicho valor .

Frecuencia absoluta acumulada Fi : ( de un determinado valor xi ) a su frecuencia absoluta más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores .

Frecuencia relativa hi : es el cociente fi/N , donde N es el número total de datos .

Frecuencia relativa acumulada Hi : es el cociente Fi/N
Si las frecuencias relativas las multiplicamos por 100 obtenemos los % .

Tratamiento de la información : se deben de seguir los siguientes pasos :
- recogida de datos
- ordenación de los datos
- recuento de frecuencias
- agrupación de los datos , en caso de que sea una variable aleatoria continua o bien discreta pero con un número de datos muy grande se agrupan en clases .
                                             Nº de clases =   
Los puntos medios de cada clase se llaman marcas de clase .
Además se debe adoptar el criterio de que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha .
- construcción de la tabla estadística que incluirá , clases , marca de clase , fi , Fi , hi , Hi .

Ejemplo : Las notas de Matemáticas de una clase han sido las siguientes :
5  3  4  1  2  8  9  8  7  6  6  7  9  8  7  7  1  0  1  5  9  9  8  0  8  8  8  9  5  7
 Construir una tabla :
xi fi Fi hi Hi
0 2 2 2/30 2/30
1 3 5 3/30 5/30
2 1 6 1/30 6/30
3 1 7 1/30 7/30
4 1 8 1/30 8/30
5 3 11 3/30 11/30
6 2 13 2/30 13/30
7 5 18 5/30 18/30
8 7 25 7/30 25/30
9 5 30 5/30 30/30
 30  1 
Representaciones gráficas : para hacer más clara y evidente la información que nos dan las tablas se utilizan los gráficos , que pueden ser :
• Diagramas de barras ( datos cualitativos y cuantitativos de tipo discreto ) . En el eje y se pueden representar frecuencias absolutas o relativas .
• Histogramas ( datos cuantitativos de tipo continuo o discreto con un gran número de datos ) . El histograma consiste en levantar sobre cada intervalo un rectángulo cuyo área sea igual a su frecuencia absoluta 
                      área = base • altura                        fi =  
       luego la altura de cada rectángulo vendrá dada por ni que se llama función de  
densidad . Si por ejemplo un intervalo es doble de ancho que los demás su altura ni debe ser la mitad de la frecuencia absoluta y así no se puede inducir a errores . Normalmente la amplitud de los intervalos es cte por lo que ni será
proporcional a fi y por tanto podemos tomar fi como la altura ni ya que la forma del gráfico será la misma , aunque ahora el área del rectángulo ya no sea exactamente la frecuencia absoluta ( a no ser que la amplitud del intervalo sea igual a 1 ) .

• Polígono de frecuencias

• Diagrama de sectores

• Cartogramas
• Pirámides de población
• Diagramas lineales
• Pictogramas

CÁLCULO DE PARÁMETROS :

Medidas de centralización :
• Media aritmética :
           si son pocos datos
     
         si son muchos valores pero se repiten mucho
      En el caso de que los datos estén agrupados en clases , se tomará la marca de clase 
      como xi .
      No siempre se puede calcular la media aritmética como por ejemplo cuando los 
      datos son cualitativos o los datos están agrupados en clases abiertas .
Ejemplo : hacer los cálculos para el ejercicio de las notas

• Moda : es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta . Puede haber más de una . Cuando los datos están agrupados en clases se puede tomar la marca de clase o utilizar la fórmula :
      M0 = Linf +   donde : Linf = límite inferior de la clase modal ,  =amplitud  
      del intervalo , d1= diferencia entre la fi de la clase modal y la fi de la clase anterior y
      d2 = diferencia entre la fi de la clase modal y la fi de la clase posterior .
      También se puede hacer gráficamente :

       La moda si sirve para datos cualitativos , pero no tiene por qué situarse en la zona
       central del gráfico .
Ejemplo : en el ejercicio de las notas la moda sería x=8

• Mediana : es el valor de la variable tal que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él . Si el número de datos es par , se puede tomar la media aritmética de los dos valores centrales .
Cuando los datos están agrupados la mediana viene dada por el primer valor de la variable cuya Fi excede a la mitad del número de datos . Si la mitad del número de datos coincide con Fi se tomará la semisuma ente este valor y el siguiente .
Cuando los datos estén agrupados en clases se puede utilizar reglas de tres o la fórmula : 
M = Linf + 
Gráficamente se hace a partir del polígono de frecuencias acumuladas .
Ejemplo : En el caso de las notas podrías ordenar de menor a mayor los datos y obtendríamos : 0 0 1 1 1 2 3 4 5 5 5 6 6 7 7  7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

                                              dato número 15-16 (por ser par)
luego la mediana sería 7
También se podría observar las Fi y ver que en el 7 se excede a la mitad del nº de datos , es decir , sobrepasa el 15 .

• Cuantiles : son parámetros que dividen la distribución en partes iguales , así por ejemplo la mediana los divide en dos partes iguales , los cuartiles son tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro partes iguales , los quintiles son cuatro valores que lo dividen en 5 partes , los deciles en 10 y los percentiles en 100 . Se calculan de la misma manera que la mediana . 
También se puede utilizar la fórmula : Cn = Linf +   donde n es el valor que deja el n% de valores por debajo de él .

Medidas de dispersión :
• Rango o recorrido : es la diferencia entre el mayor valor y el menor . Depende mucho de los valores extremos por que se suele utilizar el rango intercuartílico =
Q3  – Q1 o el rango entre percentiles = P90 – P10
Ejemplo : Para el caso de las notas sería 9 – 0 = 9

• Varianza s2 : es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media ( desviación respecto a la media d = xi -  ) .
s2 =  = 
 
s2 =  =
Al igual que la media en el caso de que los datos estén agrupados en clases , se tomará la marca de clase como xi .
Otra forma de calcular s2 es :
s2  =   =  = 
Se llama desviación típica s a la raíz cuadrada de la varianza . Es más útil que la varianza ya que tiene las mismas dimensiones que la media
Ejemplo : Hacer los cálculos para el ejercicio de las notas

- Coeficiente de variación : es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética . Valores muy bajos indican muestras muy concentradas .
                                                  C.V. = 

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES :

Variables estadísticas bidimensionales : es cuando al estudiar un fenómeno obtenemos dos medidas x e y , en vez de una como hemos hecho hasta ahora .
Ejemplo : pulso y tª de los enfermos de un hospital , ingresos y gastos de las familias de los trabajadores de una empresa , edad y nº de días que faltan al trabajo los productores de una fábrica .

Tipos de distribuciones bidimensionales :
- cualitativa – cualitativa          
- cualitativa – cuantitativa ( discreta o continua )
- cuantitativa ( discreta o continua ) – cuantitativa ( discreta o continua )

Tipos de tablas :
- Tabla de dos columnas xi , yi ( pocos datos )
- Tabla de tres columnas xi , yi , fi ( muchos datos y pocos valores posibles )
- Tablas de doble entrada ( muchos datos y muchos valores posibles )
 x1 x2 …… xn f*j
y1 f11 f21 …… fn1 f*1
y2 f12 f22 …… fn2 f*2
….. ….. …… …… …… ……
ym f1m f2m …… fnm f*m
fi* f1* f2* …… fn* f**=N

Diagramas de dispersión :
Si hay pocos datos ( tabla de dos columnas ), se representan las variables en los ejes x e y .
Si hay muchos datos pero muy agrupados ( tabla de tres columnas y tablas de doble entrada ), se hace igual pero con los puntos más gordos según la fi ,o se pintan muchos puntos juntos , o se pinta en tres dimensiones x , y , fi , con lo que obtendríamos un diagrama de barras en tres dimensiones .
Si hay muchos datos y muchos valores posibles , se pueden agrupar en clases , y se utilizan los estereogramas ( 3 dimensiones ) en los que el volumen de cada prisma es proporcional a la frecuencia . También se puede tomar la marca de clase de los intervalos y tratar la variable continua como si fuese discreta .

Cálculo de parámetros :
- Cuando hay pocos datos o están muy agrupados ( tablas de 2 o 3 columnas )
                                          
      Aparece un parámetro nuevo que es la covarianza que es la media aritmética de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas .
      = 
- Cuando hay muchos datos ( tablas de doble entrada )
                                   
       
  = 

Correlación o dependencia : es la teoría que trata de estudiar la relación o dependencia entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional , según sean los diagramas de dispersión podemos establecer los siguientes casos :
- Independencia funcional o correlación nula : cuando no existe ninguna relación entre las variables .( r = 0 )
- Dependencia funcional o correlación funcional : cuando existe una función tal que todos los valores de la variable la satisfacen ( a cada valor de x le corresponde uno solo de y o a la inversa ) (r =  1)
- Dependencia aleatoria o correlación curvilinea (ó lineal ): cuando los puntos del diagrama se ajustan a una linea recta o a una curva , puede ser positiva o directa , o negativa o inversa ( -1<r<0  ó  0<r<1)

Ejemplo : a 12 alumnos de COU se les toma las notas de los últimos exámenes de Matemáticas , Física y Filosofía :

Matemáticas Física Filosofía
2 1 2
3 3 5
4 2 7
4 4 8
5 4 5
6 4 3
6 6 4
7 4 6
7 6 7
8 7 5
10 9 5
10 10 9

Si representamos las variables matemáticas- física en un diagrama y matemáticas-filosofía en otro vemos que la correlación es mucho más fuerte en el primero que en el segundo ya que los valores están más alineados .
  
Coeficiente de correlación lineal : es una forma de cuantificar de forma más precisa el ttipo de correlación que hay entre las dos variables .
                                                        r = 

Regresión : consiste en ajustar lo más posible la nube de puntos de un diagrama de dispersión a una curva  . Cuando esta es una recta obtenemos la recta de regresión lineal , cuando es una parábola , regresión parabólica , cuando es una exponencial , regresión exponencial , etc . ( logicamente r debe ser distinto de 0 en todos los casos ) .
La recta de regresión de y sobre x es :    en la cual se hace mínima la distancia entre los valores yj obtenidos experimentalmente y los valores teóricos de y.
A valor    se le llama coeficiente de regresión de y sobre x ( nos da la pendiente de la recta de regresión ).
La recta de regresión de x sobre y es :    en la cual se hace mínima la distancia entre los valores xi obtenidos experimentalmente y los valores teoricos de x.
A valor    se le llama coeficiente de regresión de x sobre y ( su inversa nos da la otra pendiente ) .

Experimento aleatorio : es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener . En caso contrario se llama experimento determinista .

Espacio muestral E : ( de un experimento aleatorio ) es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento .

Suceso de un experimento aleatorio : es un subconjunto del espacio muestral . Puede haber los siguientes tipos :
- suceso elemental
- suceso compuesto ( de varios sucesos elementales )
- suceso seguro
- suceso imposible
- suceso contrario

Operaciones con sucesos :
• Unión de sucesos : la unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando se realiza A ó B
• Intersección de sucesos : la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando se realizan simultaneamente los sucesos A y B . Cuando es imposible que los sucesos se realicen simultaneamente se dice que son incompatibles . Si    . En caso contrario se dice que son compatibles .

Propiedades :
 Unión Intersección
Asociativa (A B)  C=A (B C)
(A B)  C=A (B C)

Conmutativa A B=B A
A B=B A

Idempotente A A=A
A A=A

Simplificativa A (B A)=A    
A  (B A)=A

Distributiva A (B C)=(A B)   (A C)
A(B C)=(A B)  (A C)

Suceso contrario A  = E
A 
Sistema completo de sucesos : Se dice que un conjunto de suceesos A1 , A2 …….constituyen un sistema completo cuando se verifica :
- A1 A2 ……..=E
- A1 , A2 , ……son incompatibles 2 a 2 .
                                     A1     A2   ………….       An
PROBABILIDAD

Ley de los grandes números : La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número , a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente . Este número lo llamaremos probabilidad de un suceso .

Definición clásica de probabilidad : (regla de Laplace)
 
( para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables )

Definición axiomática de probabilidad : ( Kolmogorov ) Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas :
1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A)   0
2. La probabilidad del suceso seguro es 1 , es decir , p(E) = 1
3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos , o sea , p(A B) = p(A) + p(B)

Consecuencias de los axiomas :
- p( ) = 1 – P(A)
- p( ) = 0
- 
- Si A
- Si los suceso son compatibles : p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Para el caso de tres sucesos compatibles sería :
     p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A B) – p(A C) – p(B C) + p(A B C)

Probabilidad condicionada p(A/B) : Se llama probabilidad del suceso A condicioniado por B a la probabilidad de que se cumpla A una vez que se ha verificado el B .
                                               p(A/B) =     
    

                                   A                                                        B
                                                   a           b             c   
p(A B) =                p(B) =                 p(A/B) = 

Otra forma de ver la fórmula es :
                        p(A B) = p(B) • p(A/B) = p(A) • p(B/A) = p(B A)
 
Generalizando :  p(A B C) = p(A) • p(B/A) • p(C/A B)
Ejemplo :
 Hombres  Mujeres 
Fuman  70 40 110
No Fuman 20 30 50
 90 70 160
 
p(H) = 90/160          p(M) = 70/160         p(F) = 110/160        p(NF) = 50/160        

p(H/NF) = 20/50        p(H/F) = 70/110    p(M/NF) = 30/50     p(M/F) = 40/110           
          
p(H F) = 70/160 = p(F) • p(H/F) = (110/160) • (70/110)

Lo mismo se podría hacer con color de ojos ( marrones y azules ) y color de pelo ( rubio y castaño ) .

Sucesos independientes : dos sucesos A y B se dice que son independientes si
p(A) = p(A/B) . En caso contrario , p(A) p(A/B) , se dice que son dependientes .

Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta : 
- Si los sucesos son dependientes p(A B) = p(A) • p(B/A) = p(B) • p(A/B)
- Si los sucesos son independientes p(A B) = p(A) • p(B)

Ejemplo : si al extraer dos cartas de una baraja lo hacemos con devolución tendremos dos sucesos independientes , p(A B) = p(A) • p(B) pero si lo hacemos sin devolución ahora si son dependientes p(A B) = p(A) • p(B/A) .

Teorema de la probabilidad total : sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas , entonces :
p(B) = p(B A1) + p(B A2) + ………=

                                    A1     A2         A3    A4

B
                                                    
                                                  B
Teorema de Bayes : sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas , entonces :
 

Ejemplo importante : Se va ha realizar el siguiente experimento , se tira una moneda , si sale cara se saca una bola de una urna en la que hay 4 bolas negras , 3 turquesa y 3 amarillas , si sale cruz se saca una bola de otra urna en la que hay 5 bolas negras , 2 turquesa y 3 amarillas .

NNNN
TTT
AAA
Cara ———————-
NNNNN
TT
AAA

Cruz ———————-

                                            
                                        N   4/10              p(Cara N) = 1/2  •  4/10 = 4/20
               Cara 1/2            T   3/10              p(Cara T) = 1/2  •  3/10 = 3/20     
                                        A   3/10              p(Cara A) = 1/2  •  3/10 = 3/20

                                        N   5/10              p(Cruz N) = 1/2  •  5/10 = 5/20
               Cruz 1/2            T   2/10              p(Cruz T) = 1/2  •  2/10 = 2/20
                                         A   3/10             p(Cruz A) = 1/2  •  3/10 = 3/20

Tª de la probabilidad total : p(N) = p(Cara N) + p(Cruz N) = 4/20 + 5/20 = 9/20
Tª de Bayes : p(Cara/N) =   que no es ni más ni menos que casos favorables entre casos posibles .

DISTRIBUCIONES DISCRETAS : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Variable aleatoria X : es toda ley que asocia a cada elemento del espacio muestral un número real . Esto permite sustituir los resultados de una prueba o experimento por números y los sucesos por partes del conjunto de los números reales .
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas .
Por ejemplo en el experimento aleatorio de lanzar tres monedas el espacio muestral es E = [ CCC , CCX , CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , CCC ] . Supongamos que a cada suceso le asignamos un número real igual al número de caras obtenidas . Esta ley o función que acabamos de construir la llamamos variable aleatoria ( discreta ) que representa el nº de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas .
Consideremos el experimento que consiste en elgir al azar 100 judías de una plantación y medimos su longitud . La ley que asocia a cada judía su longitud es una variable aleatoria ( continua ).
Por ejemplo al lanzar un dado podemos tener la varible aleatoria xi que asocia a cada suceso el nº que tiene en la parte de arriba .
 Por ejemplo al lanzar dos dados podemos tener la variable aleatoria xi que asocia a cada suceso el producto de los dos números que tiene en la parte de arriba .

Función de probabilidad : ( de una variable aleatoria ) es la ley que asocia a cada valor de la variable aleatoria xi su probabilidad pi = p( X = xi ) .

Función de distribución F(x) : ( de una variable aleatoria ) es la ley que asocia a cada valor de la variable aleatoria , la probabilidad acumulada de este valor .
                                                         F(x) = p ( X   x )

Media de una variable aleatoria discreta : 

Varianza de una variable aleatoria discreta :  =  

Ejemplo : en una bolsa hay bolas numeradas : 9 bolas con un 1 , 5 con un 2 y 6 con un 3 . Sacamos una bola y vemos que número tienen .
La función de probabilidad es :

xi 1 2 3
pi 9/20 5/20 6/20

La función de distribución es :
xi 1 2 3
pi 9/20 14/20 20/20

La media es 1•(9/20)+2•(5/20)+3•(6/20) = 1’85
La varianza es (1-1’85)2 • 9/20 + (2-1’85)2 • 5/20 + (3-1’85)2 • 6/20 = 0’72
Distribución binomial : Una variable aleatoria es binomial si cumple las siguientes características :
1. Los elementos de la población se clasifican en dos categorias , éxito o fracaso .
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores
3. La probabilidad de éxito y fracaso es siempre constante

Ejemplos : fumadores de una población , nº de aprobados de la clase , días de lluvia a lo largo de un año , nº de caras al tirar una moneda , etc .
• Función de probabilidad   p(X = r) =  pr qn-r   donde p es la probabilidad de éxito , q la probabilidad de fracaso , n el numero total de pruebas y r el número de éxitos .
• Función de distribución     p(X   x) =   pr qn-r
• Media  

• Varianza  = n • p • q

Ejemplo : Se lanza una moneda 11 veces :
¿ Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras ?
¿ Cuál es la probabilidad de obtener 5 o menos caras ?
¿ Cuántas caras se obtienen por término medio ?
¿ Cuál es la desviación típica ?

DISTRIBUCIONES CONTINUAS : DISTRIBUCIÓN NORMAL
 
Función de densidad f(x) : cuando en un histograma de frecuencias relativas de una variable continua aumentamos el nº de clases y por lo tanto su amplitud es más pequeña vemos que el polígono de frecuencias relativas se acerca a una función f(x) que llamaremos función de densidad que cumple las siguientes propiedades :
- f(x) 
-  el área encerrada bajo la curva de la función es igual a la unidad .
-   área bajo la curva correspondiente a ese intervalo .

Función de distribución F(x) = p(X   x) : cuando en un histograma de frecuencias relativas acumuladas de una variable continua aumentamos el nº de clases y por lo tanto su amplitud es más pequeña vemos que el polígono de frecuencias relativas acumuladas  se acerca a una función F(x) que llamaremos función de distribución que cumple las siguientes propiedades :
- F(a) =  = p( X a)   por lo tanto :
                                          p( X b) = = F(b) – F(a)
- F(x) es nula para todo valor de x anterior al menor valor de la variable aleatoria y es igual a la unidad para todo valor posterior al mayor valor de la variable aleatoria . Si es continua se dice que F(- )=0 y F(+ )=1
- Por ser una probabilidad   .
- Es una función creciente .
 
Media de una variable aleatoria continua : 
Varianza de una variable aleatoria continua :  = 
Distribución normal : una variable aleatoria es normal si se rige según las leyes del azar . La mayoría de las distribuciones más importantes son normales . Por ejemplo la distribución de los pesos de los individuos de cualquier especie , la estatura de una pobablación , Tª del mes de agosto a lo largo de 100 años , la longitud de los tornillos que salen de una fábrica , etc .
No todas las distribuciones son normales por ejemplo si clasificamos según el nivel de renta a los ciudadanos españoles son muy pocos los que poseen niveles de rentas altas y en cambio son muchos los que poseen niveles de rentas bajas  , por tanto la distribución no sería simétrica y en consecuencia no se adapta al modelo normal .

Función de densidad : una variable continua X sigue una distribución normal de media  y desviación típica  , y se designa por N( , ) , si cumple que
                                         f(x) =  

Podríamos comprobar que :

  =                        = 2
Para calcular los máximos y mínimos deberíamos hacer :
f(x) = 
f ‘(x) = -  f(x) , puesto que f(x) nunca puede valer 0 entonces , si x =   f ‘ (x) = 0
por lo que será un posible máximo o mínimo .
f ”(x) =    luego f ”( ) <0 por lo que es hay un máximo en el punto (  )
Conviene observar que cuando la desviación típica es elevada aumenta la dispersión y se hace menos puntiaguda la función ya que disminuye la altura del máximo . Por el contrario para valores pequeños de   obtenemos una gráfica menos abierta y más alta .

Cuando  = 0 y  =1 ,  N(0,1) se dice que tenemos una distribución normal reducida , estandar o simplificada .
Función de distribución : F(x) =  = p(X x)

Distribución Normal Estándar N(0,1) : La distribución N(0,1) se encuentra tabulada , lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a esta distribución . Pero en general la media no suele ser 0 , ni la varianza 1 , por lo que se hace una transformación que se llama tipificación de la variable , que consiste en hacer el siguiente cambio de variable :
                                           Z = 
a partir del cual obtenemos una variable Z que si es N(0,1) y que por lo tanto podemos calcular sus probabilidades .
                                    F(x) =  
Ejemplo : si tenemos N(2,4) y queremos calcular p(x<7) entonces :
p(x<7) =  = p( z < -5/4 ) = 0’1056
 
Manejo de tablas : pueden presentarse los siguientes casos :
p(z<1’45) = 0’9265
p(z<-1’45) = 0’0735
p(1’25<z<2’57) = 0’1005
p(-2’57<z<-1’25) = 0’1005
p(-0’53<z<2’46) = 0’695

Utilización conjunta de   :
En   está el 68’26% de los datos ya que :
p(  -  <X< + ) = p = p(-1< Z < 1) = 0.6826
Análogamente se puede comprobar que en   está el 95’4% de los datos y en  está el 99’7% .
Ejemplo : El C.I. de los 5600 alumnos de una provincia se distribuyen N(112,6) . Calcular aproximadamente cuántos de ellos tienen :
a) más de 112 ……………..2800 alumnos……………..la mitad de los alumnos
b) entre 106 y 118 ……….3823 alumnos ……………..este es el caso :
c) entre 106 y 112 ………..1911 alumnos
d) menos de 100 …………..128 alumnos
e) más de 130 ………………7 alumnos
f) entre 118 y 124 …………761 alumnos
( ojo hay que multiplicar % obtenido en la tabla por 5600/100 , que sale de una regla de tres )

Aproximación normal para la binomial :
Cuando los valores a calcular para la binomial superan a los de las tablas para obtener un resultado aproximado se utiliza la distribución normal , es decir , la variable   obedece a una distribución N(0,1)
El resultado es tanto más fiable cuanto mayor es el tamaño de la muestra n y cuanto más cerca está p de 0’5 .
Ejemplo : Se ha comprobado que la probabilidad de tener un individuo los ojo marrones es 0’6 . Sea X la variable aleatoria que representa el nº de individuos que tienen los ojos marrones de un grupo de 1100 . Calcular p(X>680) y p(X=680)
p(X>680) = 1 – p(X<680) = 1 – p(Y<  ) = 1 – p(Y<1’23) = 0’1093
p(X = 680) = p(679’5<X<680’5) se debe hacer así puesto que en una variable continua no tiene sentido calcular probabilidades de valores puntuales .